Question

13．已知函数f（x）=|x+1|+|2x-2|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若关于x的方程$\frac{1}{f（x）}$-5=t的解集为空集，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式为函数f（x）=|x+1|+|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1，x＜-1}\\{-x+3，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$分类讨论求得原不等式解集．
（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，可得$\frac{1}{f（x）}$的取值范围，再根关于x的方程$\frac{1}{f（x）}$-5=t的解集为空集，求得实数t的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1，x＜-1}\\{-x+3，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$
当x＞1时，由3x-1＞5解得：x＞2；当-1≤x≤1时，由-x+3＞5得x＜-22 （舍去）．
当x＜-1时，由-3x+1＞5，解得x＜-$\frac{4}{3}$．
所以原不等式解集为{x|x＜-$\frac{4}{3}$或x＞2}．
（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可知：f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
并且f（x）的最小值为f（1）=2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞），
从而$\frac{1}{f（x）}$的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]，
根据关于x的方程$\frac{1}{f（x）}$-5=t的解集为空集，可得t+5≤0或t+5＞$\frac{1}{2}$
所以实数t的取值范围是（-∞，-5]或（-$\frac{9}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．