题目内容
【题目】已知圆
和直线l:
(1)证明：不论
取何值时，直线和圆总有两个不同的交点；
(2)求当取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求最短的弦长.
【答案】（1）见解析；（2）
时有最短弦长为
.
【解析】
1
根据直线l方程可知直线l恒过定点
，求出
距离小于半径，知定点M在圆内，即可得直线l与圆C必相交；2当直线
直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，求直线MC的斜率，得直线l斜率，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可．
1证明：根据题意得：直线
即
恒过点
，
圆心
，半径为4，
，
在圆内，则直线l与圆C必相交；
2当直线直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，
，则直线MC的方程为：
，即
，
直线l斜率为2，直线l过点M，
直线l方程为
，即
；
根据题意得：最短弦长为
．
即时有最短弦长为.
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