题目内容
【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，
，则动点P的轨迹为双曲线；
②曲线
表示焦点在y轴上的椭圆，则
；
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
与椭圆
有相同的焦点．
其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号）
【答案】②③④
【解析】
①根据双曲线的定义知|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支；
②根据方程
表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可；
③求出方程2x2-5x+2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；
④分别求出双曲线
和椭圆
的焦点坐标，判断是否相同即可．
解：对于①，根据双曲线的定义知，当k的范围满足|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支，∴①错误；
对于②，令
，解得
＜t＜4，此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆，∴②正确；
对于③，解方程2x2-5x+2=0，得x=
或x=2；可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴③正确；
对于④，双曲线中，c=
=
，焦点坐标为F1（-，0）、F2（，0）；
椭圆中，c′=
=，焦点坐标为F1′（-，0）、F2（，0），
它们的焦点相同，∴④正确；
综上知，其中真命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
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