题目内容
【题目】已知函数f(x)=,g(x)=xlnx.
(Ⅰ)若函数g(x)的图象在(1,0)处的切线l与函数f(x)的图象相切,求实数k的值;
(Ⅱ)当k=0时,证明:f(x)+g(x)>0;
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据导函数的几何意义求得函数g(x)的图象在(1,0)处的切线l的方程,将其方程与函数f(x)的解析式联立,得到关于x的一元二次方程,由条件可知此方程有一个解,判别式等于0,可求得实数k的值;(Ⅱ)证法一:当k=0时,构造函数F(x)=f(x)+g(x)= ,求导判断函数F(x)在(0,+∞)上的单调性,进而得其最小值,判断最小值大于0即可。证法二:对于函数g(x)=xlnx,求导判断其单调性,可求其最小值,当k=0时, ,配方可求其最小值。进而可得f(x)+g(x)>
,可证明要证不等式。
(Ⅰ)g(x)的导数g′(x)=1+lnx,斜率为g′(1)=1,切点为(1,0),则直线l:y=x﹣1,
联立y=x2+(k﹣1)x﹣k+,可得x2+2(k﹣2)x﹣2k+5=0,
由l与f(x)的图象相切,可得△=4(k﹣2)2﹣4(5﹣2k)=0,解得k=1±;
(Ⅱ)证法一:当k=0时,F(x)=f(x)+g(x)=xlnx+x2﹣x+,
F′(x)=lnx+x,x>0,显然F′(x)在(0,+∞)递增,
设F′(x0)=0,即lnx0+x0=0,易得x0∈(0,1),
当x∈(0,x0),F′(x)<0,F(x)递减,当x∈(x0,+∞),F′(x)>0,F(x)递增.
F(x)的最小值为F(x0),且为x0lnx0++x02﹣x0+=x0(﹣x0+x0﹣1)+
=﹣x02﹣x0+=﹣(x0+3)(x0﹣1),由x0∈(0,1),F(x0)>0,
故F(x)>0恒成立,即f(x)+g(x)>0恒成立;
证法二:g′(x)=1+lnx,x∈(0,),g′(x)<0,g(x)递减,
x∈(,+∞),g′(x)>0,g(x)递增,则g(x)在x=处取得最小值﹣,即g(x)≥,
又k=0时,f(x)=x2﹣x+=(x﹣1)2+1≥1,则f(x)+g(x)>1﹣>0恒成立;
【题目】为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:
健身族 | 非健身族 | 合计 | |
男性 | 40 | 10 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?
(2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?
参考公式: ,其中.
参考数据:
0. 50 | 0. 40 | 0. 25 | 0. 05 | 0. 025 | 0. 010 | |
0. 455 | 0. 708 | 1. 321 | 3. 840 | 5. 024 | 6. 635 |