Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．

（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；
（2）若P为半圆周中点，求此时二面角P﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵半圆O以BC为直径，

∴PC⊥PB，

∵平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，ABCD是矩形，

∴AB⊥底面BPC，则AB⊥PC，

∵AB∩BP=B，

∴PC⊥面PAB，

∵PC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PAB，

（2）解：连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点，OP，OE，OC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

则P（1，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），A（0，﹣1，1）

=（﹣1，﹣1，1）， =（﹣1，1，0），

则平面ACD的一个法向量为 =（1，0，0），

设 =（x，y，z）是平面PAC的法向量，

则 ，

令x=1，则y=1，z=2，即 =（1，1，2），

cos＜ ， ＞= = = ，

∵二面角P﹣AC﹣D是钝二面角，

∴二面角P﹣AC﹣D的余弦值是﹣ ．

【解析】（1）根据面面垂直的判定定理证明PC⊥面PAB即可证明平面PAC⊥平面PAB；（2）连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点的空间直角坐标系如图：求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可二面角P﹣AC﹣D的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．