Question

9．已知非常数列且各项为正数等比数列{a_n}中，则（　　）

• A． a₁+a₂₀₁₄＞a₁₀₀₇+a₁₀₀₈
• B． a₁+a₂₀₁₄＜a₁₀₀₇+a₁₀₀₈
• C． a₁+a₂₀₁₄≥a₁₀₀₇+a₁₀₀₈
• D． a₁+a₂₀₁₄与a₁₀₀₇+a₁₀₀₈无法比较

Answer 1

分析 由题意可得公比q＞0且q≠1，作差变形可得a₁+a₂₀₁₄-a₁₀₀₇-a₁₀₀₈=a₁（1-q¹⁰⁰⁶）（1-q¹⁰⁰⁷），分0＜q＜1和q＞1两类讨论可得结论．

解答 解：∵正数等比数列{a_n}为非常数列，∴公比q＞0且q≠1，
∴a₁+a₂₀₁₄-a₁₀₀₇-a₁₀₀₈=a₁（1+q²⁰¹³-q¹⁰⁰⁶-q¹⁰⁰⁷）
=a₁（1-q¹⁰⁰⁶+q²⁰¹³-q¹⁰⁰⁷）=a₁[（1-q¹⁰⁰⁶）-q¹⁰⁰⁷（1-q¹⁰⁰⁶）]
=a₁（1-q¹⁰⁰⁶）（1-q¹⁰⁰⁷），
当0＜q＜1时，1-q¹⁰⁰⁶＞0，1-q¹⁰⁰⁷＞0，
∴a₁（1-q¹⁰⁰⁶）（1-q¹⁰⁰⁷）＞0，
∴a₁+a₂₀₁₄＞a₁₀₀₇+a₁₀₀₈；
当q＞1时，1-q¹⁰⁰⁶＜0，1-q¹⁰⁰⁷＜0，
∴a₁（1-q¹⁰⁰⁶）（1-q¹⁰⁰⁷）＞0，
∴a₁+a₂₀₁₄＞a₁₀₀₇+a₁₀₀₈，
综上可得a₁+a₂₀₁₄＞a₁₀₀₇+a₁₀₀₈，
故选：A．

点评 本题考查等比数列的性质，涉及作差法比较式子的大小和分类讨论的思想，属中档题．