题目内容
数列满足其中.
(I)求,猜想;(II)请用数学归纳法证明之.
(I)求,猜想;(II)请用数学归纳法证明之.
(1)1,,,Sn=.(2)见解析.
第一问中利用数列的赋值思想,由定积分得到 m=1,则可以得到借助于通项公式与前n项和关系求解前几项的和,并猜想得到通项公式。运用数学归纳法加以证明即可。
解(I) 易得:
∵an>0,∴Sn>0,
由S1=(a1+),变形整理得=1,
取正根得S1=1.
由S2= (a2+)及a2=S2-S1=S2-1得
S2= (S2-1+),变形整理得=2,取正根得S2=.
同理可求得S3=.由此猜想Sn=.
(II)用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时,上面已求出S1=1,结论成立.
(2)假设当n=k时,结论成立,即Sk=.
那么,当n=k+1时,
Sk+1= (ak+1+)= (Sk+1-Sk+)
= (Sk+1-+).
整理得S=k+1,取正根得Sk+1=.
故当n=k+1时,结论成立.(11分)
由(1)、(2)可知,对一切n∈N*,Sn=都成立.
解(I) 易得:
∵an>0,∴Sn>0,
由S1=(a1+),变形整理得=1,
取正根得S1=1.
由S2= (a2+)及a2=S2-S1=S2-1得
S2= (S2-1+),变形整理得=2,取正根得S2=.
同理可求得S3=.由此猜想Sn=.
(II)用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时,上面已求出S1=1,结论成立.
(2)假设当n=k时,结论成立,即Sk=.
那么,当n=k+1时,
Sk+1= (ak+1+)= (Sk+1-Sk+)
= (Sk+1-+).
整理得S=k+1,取正根得Sk+1=.
故当n=k+1时,结论成立.(11分)
由(1)、(2)可知,对一切n∈N*,Sn=都成立.
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