Question

【题目】定义：若数列满足所有的项均由，1构成且其中有个，1有个，则称为“数列”.

（1），，为“数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？

（2），，为“数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得，且的概率为.

Answer 1

【答案】（1）16种；（2）共有115个数对符合题意.

【解析】

（1）将问题分为“，，1”，“1，1，1”两种情况，结合分类计数原理，即可容易求得结果；

（2）根据古典概型的概率计算，以及组合数的计算，根据之间的关系，分类讨论解决问题.

（1）三个数乘积为1有两种情况：“，，1”，“1，1，1”，

其中“，，1”共有：种，“1，1，1”共有：种，

利用分类计数原理得：

，，为“数列”中的任意三项，

则使得的取法有：种.

（2）与（1）基本同理，“，，1”共有种，“1，1，1”共有种，

而在“数列”中任取三项共有种，

根据古典概型有：，

再根据组合数的计算公式能得到：

，

①时，应满足，

,,，,3,4,,，共99个，

②时，

应满足，

视为常数，可解得，

，，

根据可知，，（否则，

下设，则由于为正整数知必为正整数，

，，

化简上式关系式可以知道：，

，均为偶数，设，，则，

，由于，中必存在偶数，

只需，中存在数为3的倍数即可，

，3，5，6，8，9，11，，23，24，

，11，13，，47，49.

检验：，符合题意，

共有16个，

综上所述：共有115个数对符合题意.