题目内容
已知椭圆
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，直线
与以原点为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直
于点
，线段
垂直平分线交
于点
，求点
的轨迹
的方程；
（3）设第（2）问中的与
轴交于点
，不同的两点
在
上，且满足
,求
的取值范围.
（1）
；（2）
（3）
【解析】
试题分析：（1）双曲线的离心率为
，所以椭圆的离心率为
。根据题意原点到直线
的距离为
，又因为
可解得
。（2）由题意知
即点
到直线
，和到点
的距离相等，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。（3）由
的方程为知
设
，根据
得出
的关系，用两点间距离求
，再用配方法求最值。
试题解析：解（1）易知：双曲线的离心率为，
，
即
， 1分
又由题意知：
， 2分
椭圆
的方程为. 3分
（2）
动点
到定直线
的距离等于它到定点
的距离 5分
动点
的轨迹是以
为准线，
为焦点的抛物线， 6分
点
的轨迹的方程为. 7分
（3）由（2）知：,设，
则
， 8分
， 9分
由
，左式可化简为：
， 10分
，
当且仅当
，即
时取等号， 11分
又
，
当
，即
时，
， 13分
故
的取值范围是. 14分
考点：1椭圆的标准方程；2抛物线的定义；3函数值域。
