题目内容
【题目】过点作一直线与抛物线
交于
,
两点,点
是抛物线
上到直线
的距离最小的点,直线
与直线
交于点
.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)求证:直线平行于抛物线的对称轴.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)到直线距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点;也可根据几何意义得为与直线
平行且与抛物线相切的切点:如根据点
到直线
的距离
得当且仅当
时取最小值,(Ⅱ)要证直线
平行于抛物线的对称轴,就是要证
两点纵坐标相等,设点
,求出直线AP方程
,与直线
方程联立,解出点
纵坐标为
.同理求出直线AB方程
,与抛物线方程联立,解出点
纵坐标为
.
试题解析:(Ⅰ)设点的坐标为
,则
,
所以,点到直线
的距离
.
当且仅当时等号成立,此时
点坐标为
.………………………………4分
(Ⅱ)设点的坐标为
,显然
.
当时,
点坐标为
,直线
的方程为
;
当时,直线
的方程为
,
化简得;
综上,直线的方程为
.
与直线的方程
联立,可得点
的纵坐标为
.
当时,直线
的方程为
,可得
点的纵坐标为
.
此时,
即知轴,
当时,直线
的方程为
,
化简得,
与抛物线方程联立,消去
,
可得,
所以点的纵坐标为
.
从而可得轴,
所以,轴.……………………………………13分
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