Question

【题目】已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 ．

Answer 1

【答案】a=10.5,b=10.5
【解析】解：这10个数的中位数为 =10.5．

这10个数的平均数为10．

要使总体方差最小，

即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．

又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2

=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，

∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．

又∵a+b=21，

∴a=10.5，b=10.5．

所以答案是：a=10.5，b=10.5

【考点精析】本题主要考查了平均数、中位数、众数和极差、方差与标准差的相关知识点，需要掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据；标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差才能正确解答此题．