题目内容

2.(1)5名同学排成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
(2)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632),那么比666小的三位渐降数共有多少个?

分析 (1)利用间接法,先排没有限制的,再排除甲、乙两人相邻的;
(2)需要分类讨论,百位是6,5,4,3,2,根据加法原理可得答案.

解答 解:(1)五名同学排成一排有$A_5^5=120$种排法,
其中甲、乙两人相邻有$A_4^4A_2^2=48$种排法,
所以甲、乙两人不相邻的排法有120-48=72种排法.
(2)百位是6,十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个,
百位是6,十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个,
百位是6,十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个,
百位是6,十位是2比666小的渐降数有621,620共2个,
百位是6,十位是1比666小的渐降数有610,
所以百位是6比666小的渐降数有1+2+3+4+5=15个,
同理:百位是5比666小的渐降数有1+2+3+4=10个,
百位是4比666小的渐降数有1+2+3=6个,
百位是3比666小的渐降数有1+2=3个,
百位是2比666小的渐降数有1个,
所以比666小的三位渐降数共有15+10+6+3+1=35个.

点评 本题考查排列、组合的应用,关键是理解“渐降数”的含义,属于中档题

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