题目内容
【题目】已知数列满足
,
,
,记数列
的前
项和为
,则对任意
,则①数列
单调递增;②
;③
;④
.上述四个结论中正确的是______.(填写相应的序号)
【答案】①②③
【解析】
先证明当时,总有
,再利用数学归纳法证明
,最后再利用导数
及
均成立,从而可得正确的选项.
先证明一个性质:当时,总有
(★).
证明:令,其中
,
,
为
上的减函数,
因,
,故
在
存在唯一的零点
.
当时,
;当
时,
,
故在
为增函数,在
为减函数,
因,故当
时,总有
即
,
从而性质得证.
令,由已证性质则有
,
故对任意的
恒成立.
以下用数学归纳法证明:当时,总有
因为,所以
成立.
设当时,
,因
,故
即
,
所以时,也有
成立,
由数学归纳法可知:对任意的,总有
.
由性质★可得即
,故数列
单调递增,所以①正确.
令,其中
.
则,
在
为减函数且
,
所以在
为减函数,
所以当时,有
即
,
所以即
,整理得到:
,其中
故
,
累加后可得即
,故②正确.
令,其中
则,
在
为减函数,
而,
,
所以在
存在一个零点
,
当时,
;当
时,
,
故在
为增函数,在
为减函数,
而,所以当
时,
恒成立,
所以在
上恒成立.
故当时,总有
成立即
成立,故③正确.
因为,故
即
,
因为,由累乘可得
,
整理得到,
当时,则有
,
故,此时有
,故④不成立.
综上,四个结论中正确的是①②③.
故答案为:①②③.

【题目】2019年10月1日,是中华人民共和国成立70周年纪念日.70年砥砺奋进,70年波澜壮阔,感染、激励着一代又一代华夏儿女,为祖国的繁荣昌盛努力拼搏,奋发图强.为进一步对学生进行爱国教育,某校社会实践活动小组,在老师的指导下,从学校随机抽取四个班级160名同学对这次国庆阅兵受到激励情况进行调查研究,记录的情况如下图:
(1)如果从这160人中随机选取1人,此人非常受激励的概率和此人是很受激励的女同学的概率都是,求
的值;
(2)根据“非常受激励”与“很受激励”两种情况进行研究,判断是否有的把握认为受激励程度与性别有关.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】若函数在
处有极值,且
,则称
为函数
的“F点”.
(1)设函数(
).
①当时,求函数
的极值;
②若函数存在“F点”,求k的值;
(2)已知函数(a,b,
,
)存在两个不相等的“F点”
,
,且
,求a的取值范围.
【题目】某中学准备组建“文科”兴趣特长社团,由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按照,
,
,
,
分成5组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为“文科方向”学生,低于60分的称为“理科方向”学生.
|
(1)根据已知条件完成下面列联表,并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关?
(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“文科方向”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列、期望
和方差
.
参考公式:,其中
.
参考临界值:
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |