Question

有下列命题：
①若函数h(x)=cos4x-sin4x，则h′(

π

12

)=-1；
②若函数f（x）在R存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]'；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g′（2013）=2012!；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值”的充要条件．
其中真命题的序号是______．

Answer 1

①∵h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
∴h′（x）=-2sin2x，
∴h′（

π

12

）=-2sin

π

6

=-1，故①正确；
②[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），故②错误；
③∵g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
∴g′（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）?[（x-1）（x-2）…（x-2012）]′
∴g′（2013）=（2013-1）（2013-2）•…•（2013-2012）
=1×2×…×2012
=2012!，
∴③正确；
④三次函数的导数f′（x）=3ax²+2bx+c，要使f（x）有极值点，则f′（x）=3ax²+2bx+c=0有两个不等的实根，即△=b²-3ac＞0，当a=b=c=0时，△=0，不成立，
∴④错误；
综上所述，真命题的序号是①③．
故答案为：①③．