Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点为F₁，F₂，离心率为

2

2

，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据离心率为

2

2

，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π，可求得a=

2

，c=1，从而b²=1，故可求椭圆方程；
（2）设出直线l的方程代入椭圆方程，从而求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，可得m的函数关系式，进而可求m的取值范围．

解答：解：（1）由离心率为

2

2

得：

c

a

=

2

2

①
又由线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π得：πc²=π，c²=1       ②…（2分）
由①，②解得a=

2

，c=1，∴b²=1，∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1…（5分）
（2）由题意，F₂（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程为

x2

2

+y2=1
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为（x₀，y₀），则
x0=

x1+x2

2

=

2k2

2k2+1

，y0=k(x0-1)= -

k

2k2+1

∴线段AB的垂直平分线方程为y-y0=-

1

k

(x-x0)
令y=0，得m=x₀+ky₀=

k2

2k2+1

=

1

2+ 1 k2

由于

1

k2

＞0即2+

1

k2

＞2，
∴0＜m＜

1

2

．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是确定线段AB的垂直平分线方程，属于中档题．