Question

【题目】已知过点的动直线与抛物线：相交于两点．当直线的斜率是时，.

(1)求抛物线的方程；

(2)设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）b∈(2，＋∞)．

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用点斜式先写出直线的方程，令直线与抛物线联立，消参得到关于y的方程，利用韦达定理，得到和，再利用，解出，得到抛物线的方程；第二问，设出直线的方程，令抛物线与直线联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理，得到BC的中点坐标，从而得到BC的中垂线方程，令x=0，得到中垂线在y轴上的截距，再通过配方法求范围.

试题解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，

∴①, ②

又∵，∴y2＝4y1，③

由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.

(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，

由得x2－4kx－16k＝0，④

∴，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.

∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－ (x－2k)，

∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. ∴b∈(2，＋∞)．