题目内容

已知 
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,-cosx),x∈R,定义函数f(x)=
m
n
-
1
2

(1)求函数f(x)的最小正周期,值域,单调增区间.
(2)设△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,且c=
3
,f(C)=0,若向量
d
=(1,sinA)与 
e
=(2,sinB)共线,求边a,b的值及△ABC的面积S?
分析:(1)利用向量的数量积的坐标表示及辅助角公式对已知函数进行化简,然后结合正弦函数的性质即可求解
(2)由f(C)=sin(2C-
π
6
)-1=0,及C为△ABC的内角,可求C,然后结合向量共线的坐标表示可得sinB与sinA的关系,根据正弦定理进而可得b与a的关系,最后利用余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即可求解
解答:解:(1)∵f(x)=
m•
n
-
1
2
=
3
sinx•cosx-cos2x-
1
2
 
=
3
2
 sin2x-
1+cos2x
2
-
1
2

=sin(2x-
π
6
)-1
 
∴f(x)的最小正周期T=π,值域为[-2,0],
令2kπ2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
 ⇒kπ+
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,(k∈Z),
∴f(x)的增区间为:[kπ+
π
6
,kπ+
π
3
]
 (k∈Z),
(2)∵f(x)=sin(2x-
π
6
)-1
,f(C)=0,
∴f(C)=sin(2C-
π
6
 )-1=0,又C为△ABC的内角,
∴C=
π
3
 
d
=(1,sinA)与
e
=(2,sinB)共线
∴sinB=2sinA,根据正弦定理得:b=2a①,
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即3=a2+b2-ab②,
联立①②,解得a=1,b=2.
∴△ABC的面积S=
1
2
absinC
=
3
2
点评:本题主要考查了向量数量积及向量平行的坐标表示的应用,二倍角公式、辅助角公式等公式在三角函数化简中的应用,正弦定理及余弦定理的综合应用,本题具有一定的综合性
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