题目内容
（2012•上海）定义向量
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
| OM |
| OM |
（1）设g（x）=3sin（x+
| π |
| 2 |
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
| OM |
分析：（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；
（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；
（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出
的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．
（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；
（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出
| b |
| a |
解答：解：（1）g（x）=3sin（x+
）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’
=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
=-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函数h（x）的‘相伴向量’
=（-sinα，cosα+2）．
则|
|=
=
．
（3）
的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=
sin（x+φ），
其中cosφ=
，sinφ=
．
当x+φ=2kπ+
，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+
-φ，k∈Z．
∴tanx0=tan（2kπ+
-φ）=cotφ=
，
tan2x0=
=
=
．
为直线OM的斜率，由几何意义知：
∈[-
，0）∪（0，
]．
令m=
，则tan2x0=
，m∈[-
，0）∪（0，
}．
当-
≤m＜0时，函数tan2x0=
单调递减，∴0＜tan2x0≤
；
当0＜m≤
时，函数tan2x0=
单调递减，∴-
≤tan2x0＜0．
综上所述，tan2x0∈[-
，0）∪（0，
]．
| π |
| 2 |
其‘相伴向量’
| OM |
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
=-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函数h（x）的‘相伴向量’
| OM |
则|
| OM |
| (-sinα) 2+(cosα+2) 2 |
| 5+4cosα |
（3）
| OM |
| a2+b2 |
其中cosφ=
| a | ||
|
| b | ||
|
当x+φ=2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴tanx0=tan（2kπ+
| π |
| 2 |
| a |
| b |
tan2x0=
| 2tanx0 |
| 1-tan 2x0 |
2×
| ||
1-(
|
| 2 | ||||
|
| b |
| a |
| b |
| a |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
令m=
| b |
| a |
| 2 | ||
m-
|
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
当-
| ||
| 3 |
| 2 | ||
m-
|
| 3 |
当0＜m≤
| ||
| 3 |
| 2 | ||
m-
|
| 3 |
综上所述，tan2x0∈[-
| 3 |
| 3 |
点评：本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识．是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功．
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中，已知双曲线
：
．
轴围成的三角形的面积；
交
、
两点，若
相切，求证：
；
：
，若
、
分别是
，求证：
到直线
的距离是定值.