Question

已知

m

=(2cosωx，

3

sinωx)，

n

=(cosωx，2cosωx)，（ω＞0），f（x）=

m

•

n

-1，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，AC=2，BC=2

3

，f（

A

2

）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：利用向量的数量积，通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，
（1）直接利用周期公式求出函数的周期，得到函数的解析式．
（2）利用f（

A

2

）=1，求出A的值，结合AC=2，BC=2

3

，利用余弦定理求出c，然后求解三角形的面积．

解答：解：已知

m

=(2cosωx，

3

sinωx)，

n

=(cosωx，2cosωx)，（ω＞0），
f（x）=

m

•

n

-1=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-1
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

），x∈R．
（1）因为函数f（x）的最小正周期为π．所以T=

2π

ω

=π，ω=2，
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R．
（2）因为f（

A

2

）=2sin（2×

A

2

+

π

6

）=1，A∈（0，π）．
所以sin（A+

π

6

）=

1

2

，

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

所以A+

π

6

=

5π

6

A=

2π

3

．
设a，b，c为△ABC对应三边，则b=2，a=2

3

，A=

2π

3

，因为a²=b²+c²-2bccosA，
即：c²+2c-8=0（c＞0），解得c=2，
所以三角形的面积为S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．

点评：本题考查解答三角形的问题，三角函数的解析式的求法，两角和的正弦函数的应用，余弦定理以及三角形的面积的求法．