题目内容

已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆交于两点,试问,是否存在轴上的点,使得对任意的为定值,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
(1);(2)存在点使得为定值.

试题分析:(1)椭圆的标准方程是,则本题中有,已知三角形的面积为4,说明,这样可以求得;(2)存在性命题的解法都是假设存在,然后想办法求出.下面就是想法列出关于的方程,本题是直线与椭圆相交问题,一般方法是设交点为,把直线方程代入椭圆方程交化简为,则有,而,就可用表示,这个值为定值,即与无关,分析此式可得出结论..
试题解析:(1)设椭圆的短半轴为,半焦距为
,由
解得,则椭圆方程为.     (6分)
(2)由 
由韦达定理得:

=
==,     (10分)
,即时,为定值,所以,存在点使得为定值(14分).
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