Question

已知函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b对任意定义域内的x均成立．
（1）若函数的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（2）已知函数g（x）=-x²+nx+1（x＞0）在（1）的条件下，若对实数x＞0及t＞0时恒有不等式g（x）＜f（t）成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题设，∵函数的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴+=2，
∴m=1；
（2）由（1）得f（t）=t++1（t＞0），
当t＞0时，t++1+1=3，所以其最小值为f（1）=3，
g（x）=-x2+nx+1=-（x-）2+1+，
①当＜0，即n＜0时，g（x）max=1+＜3，∴n∈（-2，0），
②当≥0，即n≥0时，g（x）_max＜1＜3，∴n∈[0，+∞），
由①②得n∈（-2，+∞）．
分析：（1）利用函数的图象关于点（0，1）对称，可得f（x）+f（-x）=2，代入化简，可得实数m的值；
（2）根据（1）中函数的解析式，求出t＞0时f（t）的最小值，利用二次函数性分类讨论可求得g（x）的最大值，根据对实数x＞0及t＞0时恒有不等式g（x）＜f（t）成立，得g（x）_max＜f（t）_min，由此可求实数n的取值范围．
点评：本题考查函数与方程的综合应用，考查恒成立条件下求参数取值范围问题，考查分类讨论思想，恒成立问题基本思路是转化为求函数的最值问题解决，本题运用基本不等式及二次函数性质求得函数最值．