题目内容

(本小题满分14分)

已知函数

(1)讨论函数的单调性;

(2)当为偶数时,正项数列满足,求的通项公式;

(3)当为奇数且时,求证:

解:(1)由已知得,x>0且

k是奇数时,则,则f(x)在(0,+)上是增函数;

k是偶数时,则,, 

所以当x(0,1)时,, 当x(1,+)时,

故当k是偶数时,f(x)在(0,1)是减函数,在(1,+)是增函数.

(2)由已知得

所以{}是以2为首项,2为公比的等比数列,故

(3) 由已知得

所以左边==

S=

由倒序相加及组合数的性质得:

2S=

.       所以

所以, 成立.

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