题目内容
【题目】已知函数
(1)函数,若
是
的极值点,求
的值并讨论
的单调性;
(2)函数有两个不同的极值点,其极小值为为
,试比较
与
的大小关系,并说明理由.
【答案】(1),在
单调递减,在
单调递增(2)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,根据
解出
的值,从而确定
的表达式,进而求出单调区间;(2)对
求导,
有两个不同的极值点,即方程
在
有两个不同的实根,运用判别式和韦达定理,可得到
,列表求出
的单调区间和最值,即可得出
,再通过构造
,运用导数可知函数
在
单调递减,从而得出
.
试题解析:(1)
,
,
因为是
的极值点,所以
,得
,
,
此时
,
,
当时,
;当
时,
.
所以在
单调递减,在
单调递增.
(2)
,
,
因为有两个不同的极值点,所以
在
有两个不同的实根,设此两根为
,
,且
.
则,即
,解得
.
与
随
的变化情况如下表:
由表可知
,
因为,所以
代入上式得:
,所以
,
因为,且
,所以
.
令,则
,
当时,
,即
在
单调递减,
所以当时,有
,
即.
点睛:本题考查导数的综合应用求单调性和极值,考查函数的单调性及运用,极值点的个数与方程根的关系,属于中档题.极值点的个数问题经常与导函数在定义域内的方程根个数相互转化,一元二次方程在有两个不同的实根,等价转化为判别式大于
,韦达定理写出两根和与积,分别大于
即可.
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