Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，△ABC和△ABB1都是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）过B1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并证明；
（Ⅱ）求AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设AB中点为O，连OC，OB1 ， B1C，则截面OB1C为所求，
证明：OC，OB1分别为△ABC，△ABB1的中线，所以AB⊥OC，AB⊥OB1 ，
又OC，OB1为平面OB1C内的两条相交直线，所以AB⊥平面OB1C，
（Ⅱ）以O为原点，OB方向为x轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，
易求得B（1，0，0），A（﹣1，0，0）， ，

设平面BCC1B1的一个法向量为 ，
由 解得平面BCC1B1的一个法向量为 ，
，
所以AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为
【解析】（Ⅰ）设AB中点为O，连OC，OB1 ， B1C，则截面OB1C为所求，通过证明AB⊥OC，AB⊥OB1 ， 推出AB⊥平面OB1C．（Ⅱ）以O为原点，OB方向为x轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BCC1B1的一个法向量，入会利用空间向量的数量积求解AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．