题目内容

【题目】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,侧面底面ABCDEQ分别是BCPC的中点.

I)求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值;

(Ⅱ)求二面角E-DQ-P的正弦值.

【答案】I II

【解析】

I)取AD中点O,连接OPOBBD,建立空间直角坐标系后,求出各点坐标,可得,面PAB的一个法向量为,利用即可得解;

(Ⅱ)由题意,求出平面DEQ的一个法向量为,平面DQC的一个法向量为,求出后,利用平方关系即可得解.

I)取AD中点O,连接OPOBBD

因为,所以

又侧面底面ABCD

平面POD

所以平面ABCD,易知

又在菱形ABCD中,OAD中点,则

故建立以O为坐标原点,分别为xyz轴的坐标系.

因为ABCD菱形,且

EQ是中点,则

所以

设面PAB的一个法向量为,直线BQ与平面PAB所成角

,则

所以

故直线BQ与平面PAB所成角的正弦值为

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

所以平面DEQ的一个法向量为

设平面DQC的一个法向量为,二面角E-DQ-P

,则,即

所以

所以

故所求二面角的正弦值为

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