题目内容
【题目】设函数f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)讨论函数y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)当b=0时,判断函数y= 在(﹣1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)设h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值为2,求a+b的取值范围.
【答案】
(1)【解答】解:函数f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
可得y=f(x)g(x)=a(x+b) ,
①当b=0时,f(x)g(x)=ax ,﹣1≤x≤1,
由f(﹣x)g(﹣x)=﹣ax =﹣f(x)g(x),
则函数y=f(x)g(x)为奇函数;
②当b<0时,f(x)g(x)=a(x+b) ,﹣1≤x≤1,
由f(﹣ )g(﹣
)=a(﹣
+b)
,f(
)g(
)=a(
+b)
,
可得f(﹣ )g(﹣
)≠﹣f(
)g(
),且f(﹣
)g(﹣
)≠f(
)g(
),
则函数y=f(x)g(x)为非奇非偶函数;
(2)【解答】解:当b=0时,函数y= =
在(﹣1,1)递增.
理由:任取x1,x2,且﹣1<x1<x2<1,
可得1+x1x2>0,(1﹣x12)(1﹣x22)>0,
则y1﹣y2= ﹣
=
<0,
可得y1<y2,
即函数y= =
在(﹣1,1)递增.
(3)【解答】解:h(x)=|af2(x)﹣ |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|,对称轴为x=﹣
≤﹣
,
①当﹣1≤﹣ ≤﹣
,即
≤a≤1时,
h(1)=|1+b|,h(﹣1)=|1﹣b|=1﹣b,h(﹣ )=a+
﹣b,
h(x)max=max{h(1),h(﹣1),h(﹣ )},
a+ ﹣b在
≤a≤1时递增,可得a+
﹣b∈[1﹣b,
﹣b],
即有h(x)max=a+ ﹣b=2,
可得a+b=2a+ ﹣2在
≤a≤1递增,可得
a+b∈[﹣ ,
];
②﹣ <﹣1,即0<a<
时,
h(x)max=max{h(1),h(﹣1)}=1﹣b=2,即b=﹣1,
可得a+b=a﹣1∈(﹣1,﹣ ).
综上可得,a+b∈(﹣1,﹣ ].
【解析】(1)函数y=f(x)g(x)讨论b=0,b<0利用奇偶性的定义进行判断;
(2)当b=0时,函数y= 在(﹣1,1)递增,再利用单调性定义证明;
(3)h(x)=|af2(x)﹣ g ( x ) a |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|,对称轴为x=﹣ 1 2 a ≤﹣ 1 2 ,讨论对称轴①当﹣1≤﹣ ≤﹣
②﹣
<﹣1,分别求出端点处的函数值和顶点处的函数值,比较可得最大值,再由对勾函数的单调性和一次函数的单调性,即可求出范围。
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义和函数的奇偶性,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)