Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为

2

-1．
（I）求椭圆方程；
（II）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（-

5

4

，0），证明：

MA

•

MB

为定值．

Answer 1

分析：（I）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．
（II）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．

解答：解：（I）∵圆x²+y²+2x=0的圆心为（-1，0），依据题意c=1，a-c=

2

-1，∴a=

2

．
∴椭圆的标准方程是：

x2

2

+y²=1；
（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，

2

2

），B（-1，-

2

2

），

MA

•

MB

=（

1

4

，

2

2

）•（

1

4

，-

2

2

）=-

7

16

．

②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

⇒（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，

MA

•

MB

=（x₁+

5

4

，y₁）•（x₂+

5

4

，y₂）=x₁x₂+

5

4

（x₁+x₂）+

25

16

+k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+

5

4

）（x₁+x₂）+k²+

25

16

=（1+k²）（

2k2-2

1+2k2

）+（k²+

5

4

）（-

4k2

1+2k2

）+k²+

25

16

=

-4k2-2

1+2k2

+

25

16

=-2+

25

16

=-

7

16

综上

MA

•

MB

为定值-

7

16

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算．根据韦达定理，巧妙利用根与系数的关系设而不求，是解决本类问题的关键．