Question

已知实数x，y满足

2x-y+2≥0 x-2y+1≤0 x+y-2≤0

，则目标函数z=x²+y²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先分析出目标函数z=x²+y²的取值即为O（0，0）到平面区域内任一点距离的平方，再根据平面区域得到何时其取最小值，并求出其值即可．（注意是距离的平方）

解答：解：因为目标函数z=x²+y²的取值即为O（0，0）到平面区域内任一点距离的平方．
而实数x，y满足

2x-y+2≥0 x-2y+1≤0 x+y-2≤0

的平面区域是如图中A，B，C三点围成的三角形区域．，
由图得：只有当过O作直线x-2y+1=0时，O（0，0）到平面区域内任一点的距离才最小．
过O作OD垂直与直线x-2y+1=0．
因为|OD|=

|0-0+1|

12+(-2)2

=

1

5

．
∴|OD|²=

1

5

．即目标函数z=x²+y²的最小值是

1

5

．
故答案为：

1

5

．

点评：本题主要考查简单的线性规划．解决本题的关键在于分析出目标函数z=x²+y²的取值即为O（0，0）到平面区域内任一点距离的平方．