题目内容
已知定义域为R的函数y=f(x),则下列命题:
①若f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1的对称;
②若f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,则函数y=f(x)的图象关于(1,0)点对称;
③函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称;
④函数y=-f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于原点对称;
⑤若f(1+x)+f(x-1)=0恒成立,则函数y=f(x)以4为周期.
其中真命题的有
- A.①④
- B.②③
- C.②⑤
- D.③⑤
C
分析:利用函数的基本性质,对称轴,对称中心,周期,分别对选项验证,判定正误即可.
解答:①由f(x-1)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于x=0对称,故①错.
②f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,则函数y=f(x)的图象关于(1,0)点对称;②正确.
③函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于x=1对称;③错.
④函数y=-f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于(1,0)对称;④错.
⑤若f(1+x)+f(x-1)=0恒成立,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)以4为周期.正确.
故选C.
点评:本题考查函数图象的对称性,函数的周期性,考查学生灵活运用知识的能力,是基础题.
分析:利用函数的基本性质,对称轴,对称中心,周期,分别对选项验证,判定正误即可.
解答:①由f(x-1)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于x=0对称,故①错.
②f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,则函数y=f(x)的图象关于(1,0)点对称;②正确.
③函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于x=1对称;③错.
④函数y=-f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于(1,0)对称;④错.
⑤若f(1+x)+f(x-1)=0恒成立,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)以4为周期.正确.
故选C.
点评:本题考查函数图象的对称性,函数的周期性,考查学生灵活运用知识的能力,是基础题.
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