题目内容
已知椭圆:的左、右焦点分别为、,椭圆上的点满足,且△的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为、,过点的动直线与椭圆相交于、两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上.
(Ⅰ)椭圆的方程为;(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由焦点坐标知:.又椭圆上的点满足,由可求得,再由勾股定理可求得,从而求得.再由求得,从而得椭圆的方程.(Ⅱ)首先考虑与轴垂直的情况,此时可求出直线与直线的交点为,的方程是:,代入验证知点在直线上.当直线不与轴垂直时,设直线的方程为,点、,,则,,要证明共线,只需证明,即证明.
若,显然成立;若, 即证明
而,这显然用韦达定理.
试题解析:(Ⅰ)由题意知:, 1分
椭圆上的点满足,且,
.
,.
2分
又 3分
椭圆的方程为. 4分
(Ⅱ)由题意知、,
(1)当直线与轴垂直时,、,则的方程是:,
的方程是:,直线与直线的交点为,
∴点在直线上. 6分
(2)当直线不与轴垂直时,设直线的方程为,、,
由得
∴
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