题目内容
数列{an}的前N项和为Sn(N∈N*)，Sn=(M+1)-man对任意的N∈N*都成立，其中M为常数，且M＜-1.(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)记数列{an}的公比为q,设q=f(M).若数列{bn}满足:b1=a1,bn=f(bn-1)(N≥2,N∈N*),求证:数列{
}是等差数列;
(3)在(2)的条件下,设cn=bn·bn+1,数列{cn}的前N项和为TN,求证:TN＜1.
证明：(1)当n=1时，a1=S1=1.
∵Sn=(m+1)-man, ①
∴Sn-1=(m+1)-man-1(n≥2). ②
①-②得an=man-1-man(n≥2)∴（m+1）an=man-1.
∵a1≠0,m＜-1,∴an-1≠0,m+1≠0.∴=
(n≥2).
∴数列｛an｝是首项为1,公比为
的等比数列.
(2)f(m)=
,b1=a1=1,bn=f(bn-1)=
.
∴
=
.∴
-
=1(n≥2).
∴数列｛
｝是首项为1,公比为1的等比数列.
(3)由（2）得
=n,则bn=
.cn=bn·bn+1=
.
Tn=
+
+…+
=
-
+
-
+
-
+…+
-
=1-
＜1.
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