题目内容
【题目】已知
，函数
.
（1）
是函数数
的导函数，记
，若
在区间
上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）设实数
，求证：对任意实数
，总有
成立.
附：简单复合函数求导法则为
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）由题得
，再对a分两种情况讨论结合导数得解；（2）不妨设
，取
为自变量构造函数
，再证明
，
即证得.
（1）由已知得
，记，则
.
①若
，
，
在定义域上单调递增，符合题意；
②若
，令
解得
，
自身单调递增，
要使导函数在区间
上为单调函数，
则需
，解得
，
此时导函数在区间上为单调递减函数.
综合①②得使导函数
在区间上为单调函数的
的取值范围是.
（2）因为
，不妨设，取为自变量构造函数，
，则其导数为
在R上单调递增
而且
，
所以
，
即.
故关于的函数
单调递增，
即证得.
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