题目内容

7.如果f(x)对?x∈R,f(1+x)=f(-x),且x≥$\frac{1}{2}$时,f(x)=log2(3x-1),求f(x).

分析 由题意可知,函数f(x)的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称,分别设出y=log2(3x-1)(x$≥\frac{1}{2}$)上的任意一点为P1(x1,y1)及点P1关于直线x=$\frac{1}{2}$的对称点为P(x,y),利用中点坐标公式得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-x}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$,再由P1(x1,y1)在曲线y=log2(3x-1)上求得f(x).

解答 解:由f(1+x)=f(-x),可知函数f(x)的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称,
设y=log2(3x-1)(x$≥\frac{1}{2}$)上的任意一点为P1(x1,y1),点P1关于直线x=$\frac{1}{2}$的对称点为P(x,y),
则$\left\{\begin{array}{l}{x+{x}_{1}=1}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-x}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$,
∵P1(x1,y1)在曲线y=log2(3x-1)(x$≥\frac{1}{2}$)上,
∴y1=log2(3x1-1),即y=log2(3-3x-1)=log2(2-3x).
∴$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}(3x-1),x≥\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{2}(2-3x),x<\frac{1}{2}}\end{array}\right.$.

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法,考查曲线关于直线的对称曲线方程的求法,属中档题.

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