Question

如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.

(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.

Answer 1

（1）  （2）见解析

(1)解:取CD的中点G,
连结MG,NG.

因为四边形ABCD,DCEF为正方形,
且边长为2,
所以MG⊥CD,MG=2,NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCEF,
所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.
所以MN==.
(2)证明:假设直线ME与BN共面,
则AB?平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.
由题意知两正方形不共面,故AB?平面DCEF.
又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,
所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,
这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.
所以ME与BN不共面,它们是异面直线.