Question

【题目】已知函数是偶函数， （其中）.

（1）求函数的定义域；

（2）求的值；

（3）若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】试题分析：（1）根据对数函数的性质有解不等式即可求出函数的定义域；
（2）函数是偶函数，所以= ，即有由此可求出k的值；
（3）函数与的图象有且只有一个交点，即方程在上只有一解，令则，问题转化为关于t的方程（a-1）t2-在（， 上只有一解，分三种情况进行讨论即可求得的取值范围.

试题解析：

（1）∵，且

∴

∴

所以定义域为

（2）∵是偶函数

∴对任意恒成立

即恒成立，

∴

（3）∵函数与的图象有且只有一个交点

∴方程在上只有一解

即方程在上只有解

令则

因而等价于关于的方程在上只有一个解

①当时，解得，不合题意

②当0＜a＜1时，记h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，

其图象的对称轴t=＜0，

∴函数h（t）在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1，

∴方程在（，+∞）无解；

③当a＞1时，记h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，

其图象的对称轴t=＞0，h（0）=﹣1，

所以，只需h（）＜0，即（a﹣1）﹣a﹣1＜0，此恒成立，

∴此时a的范围为a＞1，

综上所述，所求a的取值范围为a＞1．