题目内容

给出下列四个命题：
（1）命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x0∈R，x02-x0＜0”；
（2）定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为0；
（3）函数y=log2x+x2-2在（1，2）内只有一个零点；
（4）单位向量
a
、
b
的夹角是60°，则向量2
a
-
b
的模是2．
（5）“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件．
其中正确命题的序号是
（2）（3）
（2）（3）
（写出所有正确命题的序号）．
分析：（1）命题的否定，将量词与结论同时否定，按照这个规则进行判断；
（2）利用奇函数的性质f（0）=0及条件f（x+2）=-f（x）即可求出f（6）；
（3）在同一坐标系中画出y1=log2x与y2=-x2+2的图象，分析出两个函数图象交点的个数，即可求出函数y=log2x+x2-2在（1，2）内的零点的个数；
（4）由条件利用两个向量的数量积的定义求出|2
a
-
b
|2的值，从而得到|2
a
-
b
|的值；
（5）取特殊值k=-1，函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期也为π，可判定真假．
解答：解：（1）命题的否定，将量词与结论同时否定，故命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”．（1）错；
（2）因为f（x+2）=-f（x），所以f（6）=-f（4）=f（2）=-f（0），
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，所以f（6）=0，故（2）对；
（3）在同一坐标系中画出函数y1=log2x与y2=-x2+2的图象；
由函数y1=log2x与y2=-x2+2的图象可得函数y=log2x+x2-2在（1，2）内只有一个零点．故（3）对；
（4）∵两个单位向量
a
、
b
的夹角是60°，
∴|2
a
-
b
|2=4
a
2-4
a
•
b
+
b
2=4-4×1×1×cos60°+1=3，
故|2
a
-
b
|=
3
．（4）错；
（5）当k=-1，函数y=cos2（-x）-sin2（-x）=cos2x，最小正周期也为π，是个假命题；
故答案为：（2）（3）．
点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，函数的零点与充要条件的判断，以及向量及其模等，是一道综合题．
练习册系列答案
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12、已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
其中正确命题的序号有
①④
．
给出下列四个命题：
①函数y=
1
x
的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函数y=x2-4x+6，当x∈[1，4]时，函数的值域为[3，6]；
③函数y=3（x-1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；
④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，则A∩B=A．
其中正确命题的序号是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正确命题的序号）
将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：
①EF∥AB；②直线EF是异面直线AC与BD的公垂线；③当二面角A-BD-C是直二面角时，AC与BD间的距离为
6
2
；④AC垂直于截面BDE．
其中正确的是
②③④
②③④
（将正确命题的序号全填上）．
给出下列四个命题，其中正确的命题的个数为（　　）
①命题“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2；
③函数y=tan
x
2
的对称中心为（kπ，0），k∈Z；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）
给出下列四个命题：
①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x3与y=3x的值域相同；
③函数y=
1
2
+
1
2x-1
与y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函数；
④函数y=（x-1）2与y=2x-1在区间[0，+∞）上都是增函数，其中正确命题的序号是（　　）

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