Question

设圆满足：(Ⅰ)截y轴所得弦长为2；(Ⅱ)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；在满足条件(Ⅰ)、(Ⅱ)的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。

Answer 1

解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，
∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r²=2b²，
又圆P截y轴所得的的弦长为2，
所以有r²=a²+1，从而得2b²-a²=1，
又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，
所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1，
当且仅当a=b时，上式等号成立，
从而要使d取得最小值，则应有，
解此方程组得，
又由r²=2b²知r=，
于是，所求圆的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2。