Question

设圆满足：

(1)截y轴所得弦长为2；

(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．

在满足条件(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程.

Answer 1

解：设所求圆的圆心为P(a,b)，半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故r²＝2b²，又圆P截y轴所得弦长为2，所以

有r²＝a²＋1，从而有2b²－a²＝1

又点P(a,b)到直线x－2y=0距离为d＝，

 

所以5d²＝|a－2b|²＝a²＋4b²－4ac≥a²＋4b²－2（a²＋b²）

＝2b²－a²＝1

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²＝1，从而d取得最小值，由此有解方程得或

由于r²＝2b²，知r＝，

于是所求圆的方程为（x－1）²＋（y－1）²＝2或（x＋1）²＋（y＋1）²＝2

 

解法二：设所求的圆的方程为(x－a)²+(y－b)²=r²(r＞0)

依题意知，该圆与x轴、y轴分别有交点A(x₁,0)、B(x₂,0)和C(0,y₁)，D(0,y₂)，由(x－a)²+b²=r²，

得x_1,2=a±(r＞|b|)

由a²+(y－b)²=r²，得y_1,2=b±(r＞|a|)

由|CD|=2，

∵|CD|=|y₁－y₂|=2

∴2=2,∴r²=a²+1

∵|AB|等于该圆内接正方形的边长，

∴|AB|=r

∴|AB|=|x₁－x₂|=2=r

∴r²=2b²，

∴2b²－a²=1，即为圆心坐标(a，b)满足方程

 

圆心(a,b)到直线l的距离d=，

∴a－2b=±d

∴2b²±4db+5d²+1=0，若此方程看作b的二次方程有实根，故判别式非负，

∴Δ=8(5d²－1)≥0，∴5d²≥1

 

∴5d²有最小值1，即d有最小值

∴b²±2b+1=0，∴b=±1，

∴r²=2，a=±1

由于(a,b)使d取得最小值，应有|a－2b|=1

∴a=1,b=－1和a=－1,b=1(舍去)

∴a=b=1和a=b=－1才满足

故圆方程为(x－1)²+(y－1)²=2和(x+1)²+(y+1)²=2.