Question

1．已知圆O：x²+y²=4，点A（1，1）为圆内一点，过点A作互相垂直的两直线与圆分别交于C，D两点，则|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的取值范围是[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 【解法一】根据题意，结合圆的对称性，求出|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的最大值与最小值，即可得出它的取值范围．
【解法二】设出CD的中点E的坐标，求出点E的轨迹方程，利用数形结合的方法即可求出结论．

解答 解：【解法一】如图所示，
∵x²+y²=4，
根据圆的对称性，得；
当x=1时，y=±$\sqrt{3}$，对应点D（1，-$\sqrt{3}$）和D′（1，$\sqrt{3}$）；
当y=1时，x=±$\sqrt{3}$，对应点C（-$\sqrt{3}$，1）和C′（$\sqrt{3}$，1）；
当取点C（-$\sqrt{3}$，1），D（1，-$\sqrt{3}$）时，
$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$-1，0）+（0，-$\sqrt{3}$-1）=（-$\sqrt{3}$-1，-$\sqrt{3}$-1），
|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，为最大值；
当取点C′（$\sqrt{3}$，1），D′（1，$\sqrt{3}$）时，
$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}$-1，0）+（0，$\sqrt{3}$-1）=（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1），
|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，为最小值；
∴|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的取值范围是[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．
【解法二】设CD的中点为E，则$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AE}$；
再设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4；
在Rt△ACD中，${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$+${|\overrightarrow{AD}|}^{2}$=${|\overrightarrow{CD}|}^{2}$=${|2\overrightarrow{AE}|}^{2}$，
即${{（x}_{1}-1）}^{2}$+${{（y}_{1}-1）}^{2}$+${{（x}_{2}-1）}^{2}$+${{（y}_{2}-1）}^{2}$=4[（x-1）²+（y-1）²]，
化简得${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$-2（x₁+x₂）-2（y₁+y₂）+4=4（x²+y²-2x-2y+2），
把${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4，x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y代人上式，
化简得${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以点E在以（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）为圆心，$\frac{\sqrt{6}}{2}$为半径的圆上运动，
所以$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤|$\overrightarrow{AE}$|≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$|的取值范围是[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．
故答案为：[$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．