Question

正四棱柱ABCD-A′B′C′D′各顶点都在表面积为24π的球面上，且底边AB的长为2，则顶点A到平面A'BD的距离为

 

．

Answer 1

分析：先设出球的半径为R，根据求表面积公式求出R，并且求出AA′．
方法一三棱锥A-ABD的体积的两种算法：一种算法以A为顶点，则A到平面A′BD的距离设为h，算出体积；另一种以A′为顶点，则A′到平面ABD的距离为AA′，算出体积．相等得到答案．
方法二找出BD中点O，连接A′O过A作AH⊥A′O，垂足为H，由平面AA′O⊥平面A′BD，得到AH⊥平面A′BD，即AH为点A到平面A'BD的距离．利用三角形的面积法求出AH即可．

解答：解：设球半径为R，则S_表=4πR²=24π，则R²=6，
由AC'=2R，
即A'A²+AB²+AD²=（2R）²，
得AA'=4．
法一等体积法，利用V_A'-ABD=V_A-A'BD．设点A到平面A'BD的距离为h，设O为BD
中点，连A′O，则A′O⊥BD，
易得A′O=

18

，BD=2

2

．
由VA′-ABD=

1

3

•AA′•

1

2

AB•AD=

8

3

，VA-A′BD=

1

3

h•S△A′BD，
易求S△A′BD=

1

2

BD•A′O=6，
所以

8

3

=

1

3

h•6?h=

4

3

．

法二过A作AH⊥A′O，垂足为H，
∵平面AA′O⊥平面A′BD，
∴AH⊥平面A′BD，即AH为点A到平面A'BD的距离．
在RT△A′BD中，AA′•AO=AH•A′O，
即4•

2

=

18

h，得h=

4

3

；
故答案是

4

3

．

点评：在解决多面体与球有关接、切问题时，一般做出一个适当截面，将其转化为平面问题解决．这类截面通常是球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，并且能反映出体与体之间的主要位置关系和数量关系．