Question

6．（1）已知tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，求cosβ的值；
（2）已知α∈（0，$\frac{π}{4}$），sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{7}{25}$．求cos2α．

Answer 1

分析 （1）由已知tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，利用同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式，可得答案；
（2）由α∈（0，$\frac{π}{4}$），sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{7}{25}$．利用诱导公式，两倍角公式和同角三角函数的基本关系公式，可得答案；

解答 解：（1）∵tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，
∴$\frac{1}{{cos}^{2}α}$=1+tan²α=49，故cosα=$\frac{1}{7}$，sinα=$\sqrt{1-（\frac{1}{7}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-{cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{1}{7}$×（$-\frac{11}{14}$）+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵α∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴2α∈（0，$\frac{π}{2}$），
又∵sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{7}{25}$．
∴cos2（$\frac{π}{4}$-α）=cos（$\frac{π}{2}$-2α）=sin2α=1-2sin²（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{527}{625}$，
∴cos2α=$\sqrt{1-{sin}^{2}2α}$=$\sqrt{1-（\frac{527}{625}）^{2}}$=$\frac{336}{625}$．

点评 本题考查的知识点是诱导公式，两倍角公式，两角差的余弦公式和同角三角函数的基本关系公式，难度中档．