Question

16．已知正整数a，b，c满足2a+4b+7c≤2abc，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 正整数a，b，c满足2a+4b+7c≤2abc，$\frac{7}{ab}+\frac{4}{ac}+\frac{2}{bc}$≤2，再利用基本不等式，即可求a+b+c的最小值．

解答 解：∵正整数a，b，c满足2a+4b+7c≤2abc，
∴$\frac{7}{ab}+\frac{4}{ac}+\frac{2}{bc}$≤2，
$\frac{14}{45}$a+$\frac{28}{75}$b+$\frac{7}{ab}$≥$\frac{14}{5}$①，当且仅当a=3，b=$\frac{5}{2}$时取等号；
$\frac{2}{9}$a+$\frac{1}{3}$c+$\frac{4}{ac}$≥2②，当且仅当a=3，c=2时取等号；
$\frac{4}{25}$b+$\frac{1}{5}$c+$\frac{2}{bc}$≥$\frac{6}{5}$③，当且仅当b=$\frac{5}{2}$，c=2时取等号；
①+②+③得$\frac{8}{15}$（a+b+c）≥6-（$\frac{7}{ab}+\frac{4}{ac}+\frac{2}{bc}$）=4，
∴a+b+c≥$\frac{15}{2}$，
∴a+b+c的最小值为$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查求a+b+c的最小值，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．