题目内容
【题目】设函数f(x)=aexlnx+ ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.
(1)求a、b;
(2)证明:f(x)>1.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)= +
,
由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故a=1,b=2;
(2)证明:由(1)知,f(x)=exlnx+ ,
∵f(x)>1,∴exlnx+ >1,∴lnx>
﹣
,
∴f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣ ,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,
∴当x∈(0, )时,g′(x)<0;当x∈(
,+∞)时,g′(x)>0.
故g(x)在(0, )上单调递减,在(
,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(
)=﹣
.
设函数h(x)=xe﹣x﹣ ,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).
∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣ .
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1
【解析】(1)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(2)由(1)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣ ,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=
,只需证明g(x)min>h(x)max , 利用导数可分别求得g(x)min , h(x)max;

【题目】随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[25,30] | 3 | 0.12 |
(30,35] | 5 | 0.20 |
(35,40] | 8 | 0.32 |
(40,45] | n1 | f1 |
(45,50] | n2 | f2 |
(1)确定样本频率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.