题目内容
【题目】已知函数=
,其中a>0,且a≠1
(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(2)若关于的不等式
≤
|
|在[﹣1,1]上恒成立,求实数a的取值范围
【答案】(1)偶函数 (2)
【解析】
(1)函数f(x)是定义域R上的偶函数,用定义法证明即可;(2)由f(x)是R上的偶函数,问题等价于f(x)≤x在[0,1]上恒成立;讨论x=0和x≠0时,求出实数a的取值范围.
(1)函数f(x)=x(﹣
)是定义域R上的偶函数,
证明如下:任取x∈R,则f(﹣x)=﹣x(﹣
)=x(
﹣
),
∴f(x)﹣f(﹣x)=x(﹣
)﹣x(
﹣
)=x(
﹣1)=0,
∴f(﹣x)=f(x),f(x)是偶函数;
(2)由(1)知f(x)是R上的偶函数,∴不等式f(x)≤|x|在[﹣1,1]上恒成立,
等价于f(x)≤x在[0,1]上恒成立;显然,当x=0时,上述不等式恒成立;
当x≠0时,上述不等式可转化为﹣
≤
,∴ax≥
在[0,1]上恒成立,
∴≤a<1或a>1,
∴求实数a的取值范围是[,1)∪(1,+∞).
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