Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线MO，NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．

Answer 1

分析：（1）先设出抛物线的标准方程，根据焦点坐标求出p的值，代入可得到答案．
（2）先求出准线方程，设出两个动点的坐标设M（-1，y₁），N（-1，y₂），其中y₁y₂=-4，然后将y=-y₁x、y=-y₂x与y²=4x联立方程求出A，B的坐标，进而得到直线AB的方程整理后可以得到（y₁+y₂）y-4x+4=0，可求定点坐标．

解答：解：（1）设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），则

p

2

=1，p=2
所以抛物线C的标准方程为y²=4x
（2）抛物线C的准线方程为x=-1，设M（-1，y₁），N（-1，y₂），其中y₁y₂=-4
则直线MO的方程为：y=-y₁x
将y=-y₁x与y²=4x联立方程，解得A点的坐标为（

4

y 2 1

，-

4

y1

）
同理可得B点的坐标为（

4

y 2 2

，-

4

y2

）
则直线AB的方程为：

y+ 4 y1

- 4 y1 + 4 y2

=

x- 4 y 2 1

4 y 2 1 -  4 y 2 2

整理，得（y₁+y₂）y-4x+4=0
由

y=0 -4x+4=0

解得

x=1 y=0

故动直线AB恒过一个定点（1，0）．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的联立问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的必考题，常以压轴的题目出现．