Question

（2011•潍坊二模）如图，已知定点F（-1，0），N（1，0），以线段FN为对角线作周长是4

2

的平行四边形MNEF．平面上的动点G满足|

GO

|=2（O为坐标原点）
（I）求点E、M所在曲线C₁的方程及动点G的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）已知过点F的直线l交曲线C₁于点P、Q，交轨迹C₂于点A、B，若|

AB

|∈（2

3

，

15

），求△NPQ内切圆的半径的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的定义，可得曲线C₁是以F、N为焦点的椭圆，由题中数据即可求出曲线C₁的方程为

x2

2

+y²=1；再由圆的定义即可得到动点G的轨迹C₂的方程为x²+y²=4；
（II）由题意得直线l与x轴不垂直，设l方程为y=k（x+1），利用点到直线的距离公式结合垂径定理，算出|AB|=2

3+ 1 1+k2

．设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），△NPQ内切圆半径r满足

1

2

|NF|•|y₁-y₂|=

1

2

•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），结合题中数据得到r=

2

4

|y₁-y₂|，由直线方程与椭圆消去x，得关于y的二次方程，再利用根与系数的关系算出|y₁-y₂|关于k的式子，从而得到r关于k的函数关系式，结合函数的单调性讨论可得r的取值范围．

解答：解：（I）∵四边形MNEF是平行四边形，周长为4

2

∴点E到点F、N的距离之和等于2

2

（定长），且|NF|=2＜2

2

由椭圆的定义，得曲线C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
可得a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲线C₁的方程为

x2

2

+y²=1
∵|

GO

|=2，∴动点G的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆
即曲线C₂的方程为x²+y²=4；
（II）当l垂直x轴时，令x=-1代入曲线C₂的方程得y=±

3

∴|AB|=2

3

∉（2

3

，

15

），不符合题意
因此直线l与x轴不垂直，设l方程为y=k（x+1）
原点到直线l的距离为d=

|k|

1+k2

，
由圆的几何性质，得到|AB|=2

r2-d2

=2

4- k2 1+k2

=2

3+ 1 1+k2

由|AB|∈（2

3

，

15

），解之得k²＞

1

3

联解

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消去x得（2+

1

k2

）y²-

2

k

y-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），△NPQ内切圆的半径为r
可得y₁+y₂=

2 k

2+ 1 k2

=

2k

2k2+1

，y₁y₂=-

1

2+ 1 k2

=-

2k2

2k2+1

∵

1

2

|NF|•|y₁-y₂|=

1

2

•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），其中|NF|=2，|PN|+|PQ|+|QN|=4

2

∴r=

2

4

|y₁-y₂|
而|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y 1y2

=

( 2k 2k2+1 )2+ 4k2 2k2+1

=

2[1- 1 (1+2k2)2 ]

∵k2＞

1

3

，∴1-

1

(2k2+1)2

＞

16

25

另外，因为1-

1

(2k2+1)2

＜1，即

4

5

2

＜|y₁-y₂|＜

2

，可得r=

2

4

|y₁-y₂|∈（

2

5

，

1

2

）
∴△NPQ内切圆的半径的取值范围为（

2

5

，

1

2

）．

点评：本题给出动点轨迹，求轨迹的方程并讨论截得三角形内切圆半径的取值范围．着重考查了点到直线的距离公式、垂直定理、一元二次方程根与系数的关系和函数单调性等知识，属于难题．