Question

5．已知点A（4，8）关于直线l₁：x+y=4的对称点B在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l₂与x轴交于点D，与抛物线C交于E、F两点． 是否存在定点D，使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$为定值？若存在，请指出点D的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设B（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-8}{m-4}=1\\ \frac{m+4}{2}+\frac{n+8}{2}=4\end{array}\right.$，解得p值，可得抛物线C的方程；
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），l₂：x=sy+t，联立抛物线方程并整理得：y²-16sy-16t=0．结合韦达定理可得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$=$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{t-8}{8{t}^{2}（{s}^{2}+1）}$，所以t=8时，存在定点D（8，0），使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$为定值$\frac{1}{64}$．

解答 解：（1）设B（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-8}{m-4}=1\\ \frac{m+4}{2}+\frac{n+8}{2}=4\end{array}\right.$
∴$m=-4，n=0，-\frac{p}{2}=-4，p=8$，
所以抛物线C的方程为y²=16x．
 （2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），l₂：x=sy+t，
由$\left\{\begin{array}{l}x=sy+t\\{y^2}=16x\end{array}\right.得{y^2}-16sy-16t=0$．
其中△=（16s）²+64t＞0，则y₁+y₂=16s，y₁y₂=-16t，
$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-t）^{2}+{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{（{x}_{2}-t）}^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{（{s}^{2}+1）{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{（{s}^{2}+1）{y}_{2}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}{（{s}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{{（{y}_{1}^{\;}+{y}_{2}^{\;}）}^{2}-{2y}_{1}{y}_{2}}{（{s}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{8{s}^{2}+t}{8{t}^{2}（{s}^{2}+1）}$=$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{t-8}{8{t}^{2}（{s}^{2}+1）}$，
所以t=8时，存在定点D（8，0），使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$为定值$\frac{1}{64}$．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的位置关系，难度中档．