题目内容
【题目】如图,菱形与四边形
相交于
,
,
平面
,
,
,
,
为
的中点,
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点
,根据三角形中位线性质得
,再由线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面
平面
,最后根据面面平行性质得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,通过解方程组得面法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.
试题解析:(1)证明:取的中点
,连接
,
.
因为为菱形对角线的交点,所以
为
中点.
又为
中点,所以
,又
平面
,
平面
,所以
平面
.
又因为,
分别为
,
的中点.
所以,又因为
,所以
,
平面
,
平面
,所以
平面
,又
,
平面
,
,所以平面
平面
.
又平面
,所以
平面
.
(2)解:连接.
设菱形的边长,则由
,得
,
.
又因为,所以
.
则在直角中,
,所以
.
由平面
,
,得
平面
.
以为坐标原点,分别以
,
所在直线为
轴,
轴,过点
与平面
垂直的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
则,
.
设为平面
的一个法向量,
则即
.
令,得
,所以
.
又,
所以.
设直线与平面
所成角为
,则
.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备
生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值.
(Ⅰ)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(
表示相应事件的概率);①
;
②;③
.
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于
的零件认为是次品.
(ⅰ)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数
的数学期望
;
(ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望
.
【题目】响应“文化强国建设”号召,某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民200人做调查,统计显示,男士喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;女士喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?
(2)为引导市民积极参与阅读,有关部门牵头举办市读书交流会,从这200人中筛选出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会,记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求
的分布列及数学期望
.
附:,其中
.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |