Question

17．函数φ（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x∈R）的值域为（-2，1]．

Answer 1

分析 将原函数变成φ（x）=$-2+\frac{3}{1+{x}^{2}}$，从而由1+x²≥1，可得出$\frac{1}{1+{x}^{2}}$的范围，从而求出y的范围，即求出原函数的值域．

解答 解：φ（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=\frac{-2（1+{x}^{2}）+3}{1+{x}^{2}}=-2+\frac{3}{1+{x}^{2}}$；
1+x²≥1；
∴$0＜\frac{1}{1+{x}^{2}}≤1$；
∴-2＜y≤1；
∴原函数的值域为（-2，1]．
故答案为：（-2，1]．

点评 考查函数值域的概念，分离常数求函数值域的方法，二次函数的值域，不等式的性质：同向的不等式，取倒数后改变方向．