题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若是自然对数的底数)时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)求得的导数,由
求得切线的斜率,由点斜式方程可得所求切线的方程;(2)由题意可得
在
恒成立,由
时,
递增,可得值域为
,运用分离参数,求得右边函数的最小值,注意运用导数,判断单调性,即可得到所求范围.
试题解析:(1)f(x)=4x-的导数为f′(x)=4+
,可得在点(2,f(2))处的切线斜率为k=4+1=5,切点为(2,6),可得切线的方程为y-6=5(x-2),即为y=5x-4.
(2)x∈(1, ]时,不等式f(x)-g(x)<3恒成立,即为m
<3ln x+3在(1,
]恒成立, 由1<x≤
时,3ln x+3∈
,x-
递增,可得值域为
,即有m<
的最小值,
由的导数为
,
可得1<x≤时,h′(x)<0,h(x)递减,可得x=
时,h(x)取得最小值,且为
.
可得m<.则m的范围是
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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【题目】已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示:
(1)试计算该产品收益率的中位数;
(2)若该产品的售价(元)与销量
(万件)之间有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如表5组
与
的对应数据:
售价 | 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
据此计算出的回归方程为,求
的值;
(3)若从上述五组销量中随机抽取两组,求两组销量中恰有一组超过6万件的概率.
【题目】对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽五门功课,得到的观测值如表:
甲 | 60 | 80 | 70 | 90 | 70 |
乙 | 80 | 60 | 70 | 80 | 75 |
问:甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课发展较平衡?( )
A.甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡
B.甲的平均成绩较好,甲的各门功课发展较平衡
C.乙的平均成绩较好,甲的各门功课发展较平衡
D.乙的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡